蒙日圆以及应用

国际频道 2020-02-15112未知admin

  教 学 参谋 解法探究 2016 年 3 月 蒙日圆以及应用术 ⑩福建省厦 门第一 中学 王淼生 ⑧福建省厦 门第一 中学 黄 昌毅 小学 开始接触 圆 ,初 中学 习圆并掌握 圆的基本性 质 ,但初 中侧重 从 图形 (几何 法 ) 上理解 圆 即定性研 究. 进入高 中 。在直角 坐标 系中即用坐标 (代数法 )来 定量研 究并 得到 圆的标准 方程及一般方 程.定 性与定量有 机结 合 、数 与形 完美互 补 ,使得 对 圆的研 究达 到较为完 善 的 程度.其 实 ,圆有更 多丰富 内涵 ,比如 阿波罗尼 斯 圆 、蒙 1 3 圆 ,等等.然而不少数 学教师对此并 不熟悉 ,甚 至根本 不知道.本 文浅谈蒙 13 圆...

  教 学 参谋 解法探究 2016 年 3 月 蒙日圆以及应用术 ⑩福建省厦 门第一 中学 王淼生 ⑧福建省厦 门第一 中学 黄 昌毅 小学 开始接触 圆 ,初 中学 习圆并掌握 圆的基本性 质 ,但初 中侧重 从 图形 (几何 法 ) 上理解 圆 即定性研 究. 进入高 中 。在直角 坐标 系中即用坐标 (代数法 )来 定量研 究并 得到 圆的标准 方程及一般方 程.定 性与定量有 机结 合 、数 与形 完美互 补 ,使得 对 圆的研 究达 到较为完 善 的 程度.其 实 ,圆有更 多丰富 内涵 ,比如 阿波罗尼 斯 圆 、蒙 1 3 圆 ,等等.然而不少数 学教师对此并 不熟悉 ,甚 至根本 不知道.本 文浅谈蒙 13 圆相关 、证明及应用 ,以求抛 砖引玉. 一、 蒙 日圆概 念 在椭 圆中.任意两条互相垂直 的切线 的交点都在 同 一个 圆上 ,它 的圆心是椭 圆中心 ,半径等于长 、短半轴平 方 和的算 数平方 根 ,这 个 圆就是蒙 日圆.用 符语 言 表 示为 : . , 2 . 2 定 理1 过椭 圆 十 =1(ab0) 上任意不 同两 点 旷 D A 、 作椭 圆 的切 线 ,若切线 垂直且 相交 于P ,则动 点P 的 轨迹 为圆 2+ =a2+b2. 我们知道 圆锥 曲线具有“家族 ”现象 .即可将 椭圆具 有的性质类 比到双曲线 ,不难得到 : 2 过双曲线)上任意不同两 D 。 点A 、B作 双 曲线的切线 .若 切线垂直且相 交于P ,则动点 P 的轨迹为 圆x2+y = 一6 其实 ,从 伸缩变换 的角度 ,我们 可以将 圆视 为特殊 的椭圆 ,从而得到 : 3 过 圆 +y2=a2(a0) 上任 意不 同两 点A 、 作 圆的切线 。若 切线垂 直且相交 于P .则动点P 的轨 迹为 圆 + =2a2 出于追求外形结构一致性 ,我们也可 以将上述 3叙述为 : ~ 151-一-v + :1( )上任意不 同两点A 、曰作 圆的切线 , 若切线垂直且相交于P ,则动点P的轨迹为圆 =Ⅱ 站在复数 的高度 ,我们还 可以这样描述上述2: . . 2 ..2 过双 曲线) 上任意不 同两点A 、B 矿 【b 1) 作双 曲线 的切线 ,若 切线垂直 且相交 于P 。则 动点P 的轨 迹为 圆 + =02+ (bi)2. 数学 是有趣 的又 是神奇 的.基 于上述 探索 。为 了体 现 圆锥 曲线 的美 、形式美 、美及和谐美 ,我们 可 以将上述 1、2及3归纳为 : . . 2 上 过 曲线 ,n为实数 或纯虚数 ) ,n n 上任 意不同两点 、B作该 曲线 的切线 ,若切线垂直且 相 交 于P ,则动点P 的轨迹为 圆 +y2=m +n (m +n 0) ,这 正 是 著名的蒙 日圆. 上述研究表 明圆锥 曲线 “家族 ”具有 “遗 传性”.从 生 物学来说 ,有遗传 必有变 异 ! 正是 因为变异 ,导致抛物线 出现 突变.由于抛物线 只有 一个焦 点 ,因此我 们可 以设 想另一个 焦点在无穷远处 ,于是 就可以把直线视为半径 为无穷大的圆 ,由此可以得到 : 4 过抛物线) 上任意不 同两点A 、B 作抛物线 的切线 .若 切线垂 直且相交 于P 。则 动点P 的轨 迹为准线 =一旦 . 二 、证 明上述 上述 3、定 理4 的证 明较 为简单 ,请 读 者 自行推 理.以下证 明 1、2.为 了得到 1、2的简捷 .我们先介绍一个引理. 1.引 理 我们 知道解 析几何综 合 问题 突 出特点就 是人手 不 难 、入 口较 宽 .但运算 量大 、推理 复杂 ,导致 很多学 生不 得 不 中途放弃 而前 功尽弃 .令人 扼腕 叹息.其 实何止 是 学生 ! 惭愧的是笔者 自己在文[1 中也是采取代数推理 的 方法证 明了上述 1、2.代数论证 固然严谨 ,但计 注:本 文是福建 省“ 十二五 ”规 划2013年度 课题 “优 化 学生思 维品质 的魅 力数 学课 堂模 式研 究 ” ( 立 项批 准 :FJJ K X B13 083) 的阶 段 性 成 果 . 中。?擞? 高中版 2016年 3月 解法探究 算 复杂 、过程冗 长 ,这就促使 笔者寻觅新 的简捷方法.经 探究获得以下引理 : 引理 D为矩形ABCD所 在平 面上 任意一 点 ,则有 OA 0+ 0 c 2=0 B 2+ 0 D 2. 上 述引理 的证 明较为简单 .直接利用 勾股 、或 建系 、或借助 向量都可 以完成 ,请读者 自行推理.以下利 用上述 引理并借 助椭 圆及双 曲线 的光学 特性来论 证 上 述定 理1、2即证 明蒙 日圆. 2.证明1 证 明 :如 图 1所示 ,设 , 为 椭 圆 的左 、右焦 点 ,过 作关 于PA 的对称点 .且与 PA 相交 于G .由椭 圆光 学性 质 可得 三 点 、A 、 共 线 ,依 据椭圆定义可得 IOG I:IM F ~I :l l+ I 20 = = = 2 2 , n ● ●一 / M : t \j ~- - _ 一/ 图 l 过 作关 于PB 的对称点Ⅳ,且与 相交 于 .同理 可 得lD圳= 由图 1及题 意可 知 四边形F1GPH为 矩形 ,依 据 上述 引理可得 OG +0 =D +D + =c +D严 D严= a2+bz. 故动点胤 迹方程 为 z+ = +6 3.证 明2 证 明 :如 图2所示 ,设 , 为双 曲线 的左 、右焦点 ,过 作 关 于PA 的对称点 .且 与 相 交 于G ,由双 曲线 光学性 质可 得三点 、A 、 共线 ,依据 双 曲 线定义可得 lO G I:IM F 21 : !! l二 2 2 lL4 llA ll 2a = ~ = = ( k 2 2 磁 :: 譬 /A M B \ 图 2 过 作关 于咫 的对称点Ⅳ,且与船 相交 于 同理 可 得IOHI= 由图2及 题意可 知 四边形 F1GPH为矩 形 ,依 据 上述引理可得 OG2+OH 2= OF 12+ OP Z~ aZ+a2=c +OP 2~ OP 2=a2- bz. 故动点尸{九迹方程 为 + =a2- b2. 三、进一步探究 蒙 日圆 事 实上 ,经探究 发现上 述 四个 的逆命 题也 成 立 。由此分别得到 5 过 圆x2+y2=aZ+bz上任意 点P作椭 圆 + =1 矿 D 学 谋 (ab0 )的两 条切线 ,则两条切线 过 圆 。+ = 一b (abO) 3z任 意点尸作 双 曲 线 一 = l 的两条切线 I- 任 意点P作 圆 + = 的两 条切线 。则两条切线 过直线)上任 意点腓 抛 物线px的两条 切线 ,则两条切线垂直. 请读者模仿上 述1、2的证 明方法 自行推理 上述5~8. 四 、蒙 日圆的精彩应用 依 据上述 l~定 理8可 以命 制 出许 许多 多高质 、 优雅 的与蒙 日圆相 关的试 题.请看 以下案例 : 案例1 已知 圆0 :x + =1,若直线~ 总存在 点尸,使得过 点尸作圆O的两条切线 相互垂直 ,则实数k的 取值范围是 案例2 已知椭 圆C: + =1(口60) 的一个 焦点 旷 D 为( v 了 ,0) ,离心率为 : . j ( I )求 椭圆C的标准方 程 ; ( Ⅱ)若 动点p (x。,y0)为椭圆C外一点 ,且点P 至0椭 圆C 的两条切线相互垂 直 。求点P 的轨迹方程. 2 ,2 案例3 已知圆D:x2+y2=34 ,椭 圆c :,x -十 = 1. ( I )若 点P在 圆0 上 ,线 段OP 的垂直平 分线 经过椭 圆的右焦点 ,求点尸的横坐标. ( Ⅱ)现有如下线 上任意 一点Q(m,12) 作椭 圆 4- y- =1的两条切线 .则这两条切线垂直 ”: 过圆 =4 +7 上任意一点Q(m,n)作椭圆篆+ yZ =1的两条切线 .则这两条切线垂直 ”. 据此 写出一般结论 ,并加以证明. 评 注:上述案例 1是我校2015届 高三模拟试题 ,不 少 学生束手 无策 ,得 分率极低 .其 实 由3 可得 点jP轨迹 方程 为 + =2.由于 点P 又在 直 线_E ,即点JP既 在 圆又在 直线上 .也就 是说 直线与 圆恒有公共 点 ,即直线 与 圆相切或相 交 .依 据点到 直线 间的距 离dr可得k 1 或k 一1.案例2是2014年 高考 广东省理 科试题第20题.案 例3是2013年 厦 门市 高三 质检 第22题 (压 轴题 ).显 然案 例 2是依 据 蒙 日圆概 念 即上 述 1而命 制 ;案例 3 源 高中版中? 毒乏-? 教 学 参谋 解法探究 2016 年 3 月 巧用余弦求解一类圆锥曲线高 ⑧浙江省临海市台州中学 毕里兵 近 日.笔者在办公室 和同事参 与讨论 了一个 圆锥 曲 线问题. 。题目 设陧双曲线的左焦点,在 轴上F 点 的右侧有 一点A ,以FA 为 直径 的圆与双 曲线左 、右两 支 在 轴 上方 的 交点分 别 为 ,N ,则 的值 为 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - . . J 经过激烈 的讨论 ,大致得 出三种方法 :特殊 化法 ( 不 妨设点4 为双 曲线的右焦点 ) 、向量法 、余 弦 法 ,现把 余 弦法过程记 录如下. 解 :如 图 1所示 .记 双 曲线 的右 焦点为 ,并设FM=x ,FN=y ,FA =z.. ~UMF 2=8+x ,NF 2=y一8 ,A F2=z一10 ( 也可能是 l 0_z) ,MA = v G V ,NA = 、 一 . q ~ A FMA ,cos / _ MA F = = 、 图 1 ~ A MA F 2eP ,c。s/ __MA F2= (z- l O)2+(Z2- X2)- (8+x)2.. 2(z一10)%/ z2 -x2 故 , 2(z一10) 、/ Z 即 [ ( 一1o) 十( )一(8十 ) ]=2(z一10) (Z2 ). ① 同理可得 z [ 10) +(z )- (y- 8) ]=2(z- l O) (z2- y ). ② ①一② ,得z[ 2+( ) (y 一16) ]=2(z一10)( ) , 化简整理得 =÷,即 =÷. 这 种利用余 弦求 解 的思 勾起 了笔者对 一类 圆锥曲线高解 法的思索.笔者下 面以近几年 的几 道 高为例 。谈谈余 弦在优化 圆锥 曲线运 算方面 的 应用.现如下 ,供大家参考. 例1 (2014年 高考全 国卷 Ⅱ理科 第20~4_)设 , 分 别是椭 圆c : + = 1(。60) 的左 ,右焦 点 ,M~ C P - - 点且 峨 与 轴垂直 ,直线MF,与C的另一个交点 为 (I)若直线MN的斜率为÷ ,求c的离心率; (2)若直线MN在Y轴上的截距 为2 ,且I删 l_5l Ⅳl,求 a ,b. 解:(1)c的离心率为÷ .(过程略) (2)如 图2所 示 ,由题意 ,原点 O 为 F2的中点,MFJ /y轴, 所 以 直 线与 Y 轴 的 交 点 (0,2) 是线段 的中点 ,故J l: :4,~I]b2=4 ① a Y 、 肘 Ⅳ 0 图 2 自蒙 日圆逆 即上述 5而得到.可 以预 言这样的 试题会 不断 涌现 .倘 若在 高三 总复 习中实施 “ 集 团作 战” ,集 中“ 火力”短 、平 、快地一 次性彻底 解决 与蒙 日圆 相 关的 这一类 问题 .必 然会收到很 好的 效果 .这 一点 已 经得到越 来越 多的教 师、专 家的认 可( 如拙文 [2] ).笔者 曾经做过一次 问卷调查 ,统计 结果表 明学生特别喜欢这 种教 学策略与模式 ,尤其是 涉及 解析 几何 综合 问题更是 受到高三学子们的青睐. 中 7擞-? 高中版 参考文献 : 1.王淼 生.从 一道哈佛 试题 浅谈 因数 构形策略 [J ].中 学数 学(上 ) ,2015(7). 2.王淼生.由一道质检题得到一组有趣的结论[J ].福 建 中学数 学,2013( 1O). 3.王淼 生.攻克解几试题 的 策略 组 团、抱 团『J 1. 中小学数 学( 高中版 ) ,2014(5). 4.王淼生.透过现 象 追根 溯源 看清本质 [J ].中学 数学(上),2015(12). 圈

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