甘志国蒙日圆及其证明

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  蒙日圆及其证明甘志国(已发表于 理科教学研究,2015(5):11-13) 高 (2014 年高考广东卷文科、理科第20 题)已知椭圆 为椭圆C外一点,且点P到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程. 答案:(1) 这道高的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学 2必修A 版》(教育出版社,2007 次印刷)第22 页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge,1745-1818)作了介绍. 以上高第(2)问的一般情形是 1的结论中的圆就是蒙日圆. 先给出1 的两种解析几何: 1 的 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得 kxka 因为PB PA 是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以 PBPA PBPA 进而可得欲证成立.1 的 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得 AB,切线 PA.所以: OBOA PB PA PBPA OB OA AB上,所以 所以PB PA OB OA PBPA PBPA 进而可得欲证成立.再给出该的两种平面几何,但须先给出四个引理. 引理 (椭圆的光学性质,见普通高中课程标准实验教科书《数学选修2-1A版》(教育出版社,2007 次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光 线,经过椭圆反射后,反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1 所示). 证明如图2 所示,设P为椭圆(其左、右焦点分别是 .先证明l和相切于点P ,只要证明l PFPF PF上选取点F PFPF ,入射角等于反射角,这就证得了引理1 成立. 引理2 过椭圆(其中心是点O,长半轴长是a )的任一焦点F 作椭圆的任意切线,得BAH lAFAH (即反射角与入射角的余角相等),进而可得FAH FB的中点,得 OH ABAF 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明 由余弦可证(这里略去过程). 引理 设点P是矩形ABCD所在平面上一点,则 PDPB PC PA 证明如图4 所示,设矩形ABCD 的中心是点O. PDPB OP OB OP OA PC PA 把引理4推广到空间,得到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和 相等. 1 的 的情形.如图5 所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是 两条切线分别是PN PM, 连结OP,作PN OH PM OG ,垂足为D,由引理2 由RtODG DGOD OG RtOEH HEOE OH PNPM ,得矩形OGPH,所以 OHOG OP OHOG PMOG GPOG OP ,所以OH GP 同理,有HP OG ,所以四边形OGPH是平行四边形,进而得四边形OGPH 形,所以PN PM 由(1),(2)得点P的轨迹方程是 1的 的情形.如图6 所示.设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是 条切线分别是PB PA, ,两切点分别为 关于切线PB PA, 的对称点 BFBF NF AFAF MF NFMF PFPF PM PF PBPA BPFAPF NPF MPF ,即三点 PNPF PM ,所以MN PF PMPF MF PMPF 所以PM PF 同理,可得PN PF NPFMPF BPF APF APB PBPA 由(1),(2)得点P的轨迹方程是 1的 (该只能证得纯粹性)可不妨设 的情形.如图7 所示,设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是 两条切线分别是PB PA, ,切点分别是 关于直线PB PA, 的对称点分别为 与切线PA交于点G,直线 BFBF AF AF OHOG 2aOH OG OP ,得点P的轨迹方程是 读者还可用解析几何的方法证得以下结论: (2)抛物线px 的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线. 的两条切线)椭圆 外的部分(但要去掉四个点 时,不存在.(3)抛物线 届高三第一学期期末文科数学第 14 题)已知 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是_________. 中,若小圆(其圆心为点O,半径为r 切线AD AB, 互相垂直(切点分别为 ),得正方形AEOF,所以 OEOA 即点A的轨迹是以点O为圆心,

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